Question

13．已知PC為球O的直徑，A，B是球面上兩點，且AB=6，∠APC=∠BPC=$\frac{π}{4}$若球O的表面積為64π，則棱錐A-PBC的體積為（　　）

• A． $8\sqrt{7}$
• B． $24\sqrt{7}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{21}}}{5}$

Answer 1

分析 由題意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=$\frac{π}{4}$，∠PAC=∠PBC=$\frac{π}{2}$，求出棱錐A-PBC的體積．

解答 解：如圖，由題意球O的表面積為64π，可得球的半徑為：4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，
∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=$\frac{π}{4}$，
∠PAC=∠PBC=$\frac{π}{2}$，
AO⊥PC，BO⊥PC，
∴PC⊥平面AOB，
BP=BC=4$\sqrt{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×AB×h=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∴棱錐A-PBC的體積V=$\frac{1}{3}$×PC×S△OAB=$\frac{1}{3}×3\sqrt{7}×8$=$8\sqrt{7}$．
故選：A．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用．