Question

4．已知函數(shù)f（x）=mx-lnx（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=2處切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先將m=1代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出切點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程整理即可；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）m=1時(shí)，f（x）=x-lnx，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，f′（2）=$\frac{1}{2}$，f（2）=2-ln2，
∴切線方程為：y-2+ln2=$\frac{1}{2}$（x-2），
即：x-2y-2ln2+2=0．
（Ⅱ）∵f′（x）=m-$\frac{1}{x}$=$\frac{mx-1}{x}$，（x＞0），
①m＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{m}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{m}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）遞減，在（$\frac{1}{m}$，+∞）遞增，
②m＜00時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查曲線的切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．