Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]時，求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$），求得它的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]時，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，求得-$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{-\frac{2kπ}{3}-\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{12}}]$．
（Ⅲ）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\frac{π}{6}}]$時，$3x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}\;，\;\frac{3π}{4}}]$，
故當(dāng)3x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，$f{（x）_{max}}=2sin\frac{π}{2}=2$；
當(dāng)3x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$時，$f{（x）_{min}}=2sin（-\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的最小正周期，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．