Question

（文科）已知函數(shù)f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

，下面結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．
①f（f（x））=1
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
③任取一個(gè)不為0的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立
④存在三個(gè)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））使得△ABC為等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1；
根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，可得f（x）是偶函數(shù)；
根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)，得③正確；
取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形，得④正確．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

，
①當(dāng)x∈Q時(shí)，f（f（x））=f（1）=1．
當(dāng)x∈∁_RQ時(shí)，f（f（x））=f（0）=1．①正確；
②∵f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．②正確；
③∵有理數(shù)與有理數(shù)的和為有理數(shù)，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)，
∴任取一個(gè)不為0的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立．③正確；
④取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形．④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．