Question

7．已知圓O：x²+y²=4和圓O外一點P（x₀，y₀），過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，且∠AOB=120°．若點C（6，0）和點P滿足PO=λPC，則λ的范圍是[$\frac{2}{5}$，2]．

Answer 1

分析 由對稱性可知，動點P軌跡一定是圓心在原點的圓，求出|OP|即可得到點P的軌跡方程，再由兩點的距離公式，化簡整理可得λ=$\frac{|PO|}{|PC|}$=$\frac{2}{\sqrt{13-3m}}$，由-4≤m≤4，即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得，A，O，B，P四點共圓，且圓的直徑為OP，
∵∠AOB=120°，PA，PB為圓的切線，
∴∠AOP=60°，
∵|OA|=2，∠OAP=90°，
∴|OP|=4．
∴點P的軌跡方程為x²+y²=16，
設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），則m²+n²=16，且-4≤m≤4，
則|PO|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=4，|PC|=$\sqrt{（m-6）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{52-12m}$
由題意可得λ=$\frac{|PO|}{|PC|}$=$\frac{2}{\sqrt{13-3m}}$，
由-4≤m≤4，可得λ∈[$\frac{2}{5}$，2]．
故答案為：[$\frac{2}{5}$，2]．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查直線和圓相切的條件，以及圓的性質(zhì)和兩點的距離公式的運用，屬于中檔題．