Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）如果N是棱AB上一點，若V_N-PBC：V_N-AMC=3：2，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接AC．在△ABC中，BC²=AB²+AC²，AB⊥AC．由AB∥CD，可得AC⊥CD． 利用線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥CD．即可證明．
（2）由于點M是線段PD的中點，可得點P，M到底面ABCD的距離之比為2：1，而S_△BNC：S_△ANC=$\frac{BN}{NA}$，即可得出體積之比．

解答 （1）證明：連接AC．
∵在△ABC中，
AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，
∴BC²=AB²+AC²，
∴AB⊥AC．
∵AB∥CD，
∴AC⊥CD．                    
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC．
（2）解：∵點M是線段PD的中點，
∴點P，M到底面ABCD的距離之比為2：1，
S_△BNC：S_△ANC=$\frac{BN}{NA}$，
∴$\frac{{V}_{N-PBC}}{{V}_{N-AMC}}$=$\frac{{V}_{P-BNC}}{{V}_{M-ANC}}$=$\frac{2}{1}$×$\frac{{S}_{△BNC}}{{S}_{△ANC}}$=$\frac{2BN}{NA}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AN}{NB}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、勾股定理的逆定理、三角形面積之比、三棱錐的體積之比、平行四邊形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．