Question

4．已知方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{s}{t}}\\{y=t-\frac{s}{t}}\end{array}\right.$（s，t∈R，且s＞0，t＞0）．若以s為常數(shù)、t為參數(shù)的方程表示曲線C₁；以t為常數(shù)、s為參數(shù)的方程表示曲線C₂，那么C₁，C₂依次為雙曲線，直線．

Answer 1

分析 當s為常數(shù)，t為參數(shù)時，將兩式平方相減得出C₁普通方程，當t為常數(shù)、s為參數(shù)時，將兩式相加得出C₂的普通方程，根據(jù)普通方程的類型判斷．

解答 解：（1）若s為常數(shù)、t為參數(shù)，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{s}{t}}\\{y=t-\frac{s}{t}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={t}^{2}+\frac{{s}^{2}}{{t}^{2}}+2s}\\{{y}^{2}={t}^{2}+\frac{{s}^{2}}{{t}^{2}}-2s}\end{array}\right.$，
∴x²-y²=4s，即$\frac{{x}^{2}}{4s}-\frac{{y}^{2}}{4s}=1$．
∴C₁表示雙曲線．
（2）t為常數(shù)、s為參數(shù)，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{s}{t}}\\{y=t-\frac{s}{t}}\end{array}\right.$，
∴x+y=2t，
∴C₂表示直線．
故答案為：雙曲線，直線．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．