Question

12．若a，b∈{x||x|+|x+1|＞1}，且ab=1，則a+2b的最小值是$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先運用“零點分段法”解出不等式|x|+|x+1|＞1，從而得出a，b∈（0，+∞），再根據(jù)基本不等式求最小值．

解答 解：絕度值不等式|x|+|x+1|＞1分段討論如下：
①當x≥0時，x+x+1＞1，解得x＞1；
②當-1≤x＜0時，x+1-x＞1，無解；
③當x＜-1時，-x-x-1＞1，解得x＜-1，
綜合以上討論得，原不等式的解集為：{x|x＜-1，或x＞0}，
因此，a，b∈{x|x＜-1，或x＞0}．
由于ab=1，所以a，b同號，若a，b都小于-1，顯然與ab=1不符，
因此，a，b∈（0，+∞），
再由基本不等式，a+2b≥2$\sqrt{2ab}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當，a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取“=”，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及運用基本不等式求最值，屬于中檔題．