Question

8．函數f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+1有兩個極值點，則a的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 求出函數的導數，二階導數，得到一階導函數有極大值點，根據f′（x）的單調性，只要$f'（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}-1＞0$，解出即可．

解答 解：∵f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x+1，（x＞0），
∴f′（x）=lnx-ax，$f''（x）=\frac{1}{x}-a=0$，
得一階導函數有極大值點x=$\frac{1}{a}$，
由于f′（0）→-∞，x→+∞時，f′（x）→-∞，
因此原函數要有兩個極值點，
只要$f'（\frac{1}{a}）=ln\frac{1}{a}-1＞0$
解得$0＜a＜\frac{1}{e}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．