11．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：2（$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$）≥$\frac{^{2}+{c}^{2}}{b+c}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{c+a}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a+b}$．

分析 運用作差比較法，結(jié)合分解因式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由a，b，c為正數(shù)，
2（$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$）-$\frac{^{2}+{c}^{2}}{b+c}$-$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{c+a}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a+b}$
=$\frac{（{a}^{2}-^{2}）+（{a}^{2}-{c}^{2}）}{b+c}$+$\frac{（^{2}-{c}^{2}）+（^{2}-{a}^{2}）}{c+a}$+$\frac{（{c}^{2}-{a}^{2}）+（{c}^{2}-^{2}）}{a+b}$
=（a2-b2）（$\frac{1}{b+c}$-$\frac{1}{c+a}$）+（b2-c2）（$\frac{1}{c+a}$-$\frac{1}{a+b}$）+（c2-a2）（$\frac{1}{a+b}$-$\frac{1}{b+c}$）
=$\frac{（a-b）^{2}（a+b）}{（b+c）（c+a）}$+$\frac{（b-c）^{2}（b+c）}{（a+b）（c+a）}$+$\frac{（c-a）^{2}（c+a）}{（a+b）（b+c）}$≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取得等號．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用作差比較法，結(jié)合因式分解，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和BC的中點．
（1）求二面角B-FB1-E的大小，
（2）求點D到平面B1EF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．將3個半徑為1的球和一個半徑為$\sqrt{2}-1$的球疊為兩層放在桌面上，上層只放一個較小的球，四個球兩兩相切，那么上層小球的最高點到桌面的距離是（　�。�
A．$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$B．$\frac{{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}}{3}$C．$\frac{{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}}{3}$D．$\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬20米，要求通行車輛限高4.5米，隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？
（2）為了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面積最�。F(xiàn)隧道口的最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h(yuǎn)和拱寬l，使得隧道口截面面積最��？（隧道口截面面積公式為S=$\frac{2}{3}$lh）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2，PD=AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）求D到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B分別為左、右頂點，F(xiàn)2為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為-2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過左焦點F1的直線交橢圓于M，N兩點，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F在x軸上，D為短軸上一個端點，且△DOF的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，離心率e是方程2x2-5x+2=0的一個根．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，過橢圓C的右焦點作直線l∥AB交橢圓C于M，N兩點，是否存在常數(shù)λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，請求出λ；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．定義2×2矩陣$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a1a4-a2a3，若f（x）=$|\begin{array}{l}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{π}{2}+2x）}&{1}\end{array}|$，則f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數(shù)g（x），則函數(shù)g（x）的解析式為（　�。�
A．圖象關(guān)于（π，0）中心對稱B．圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱
C．g（x）是周期為π的奇函數(shù)D．在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，0]上單調(diào)遞增

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
（1）有一枚質(zhì)地均勻的正四面體玩具，玩具的各個面上分別寫著數(shù)字1，2，3，4．若先后兩次投擲玩具，將朝下的面上的數(shù)字依次記為a，b，求雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率；
（2）在區(qū)間[1，6]內(nèi)取兩個數(shù)依次記為a，b，求雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率．

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