Question

11．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：2（$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$）≥$\frac{^{2}+{c}^{2}}{b+c}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{c+a}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a+b}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用作差比較法，結(jié)合分解因式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由a，b，c為正數(shù)，
2（$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$）-$\frac{^{2}+{c}^{2}}{b+c}$-$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{c+a}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a+b}$
=$\frac{（{a}^{2}-^{2}）+（{a}^{2}-{c}^{2}）}{b+c}$+$\frac{（^{2}-{c}^{2}）+（^{2}-{a}^{2}）}{c+a}$+$\frac{（{c}^{2}-{a}^{2}）+（{c}^{2}-^{2}）}{a+b}$
=（a²-b²）（$\frac{1}{b+c}$-$\frac{1}{c+a}$）+（b²-c²）（$\frac{1}{c+a}$-$\frac{1}{a+b}$）+（c²-a²）（$\frac{1}{a+b}$-$\frac{1}{b+c}$）
=$\frac{（a-b）^{2}（a+b）}{（b+c）（c+a）}$+$\frac{（b-c）^{2}（b+c）}{（a+b）（c+a）}$+$\frac{（c-a）^{2}（c+a）}{（a+b）（b+c）}$≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào)．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差比較法，結(jié)合因式分解，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．