Question

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
（1）有一枚質(zhì)地均勻的正四面體玩具，玩具的各個(gè)面上分別寫著數(shù)字1，2，3，4．若先后兩次投擲玩具，將朝下的面上的數(shù)字依次記為a，b，求雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率；
（2）在區(qū)間[1，6]內(nèi)取兩個(gè)數(shù)依次記為a，b，求雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$，得到0＜b＜2a，由此列舉法能求出雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率．
（2）由a∈[1，6]，b∈[1，6]，以a為橫軸，以b為縱軸建立直角坐標(biāo)系，由幾何概型能求出雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率．

解答 解：（1）雙曲線的離心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$．
因?yàn)?e＜\sqrt{5}$∴$\frac{b^2}{a^2}＜4∴0＜b＜2a$．…（2分）
因玩具枚質(zhì)地是均勻的，各面朝下的可能性相等，
所以基本事件（a，b）共有16個(gè)：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
設(shè)“雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$”為事件A，
則事件A所包含的基本事件為：
（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），
（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12個(gè)．
故雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率為$P（A）=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$．…（7分）
（2）∵a∈[1，6]，b∈[1，6]
∴$\left\{\begin{array}{l}1≤a≤6\\ 1≤b≤6\\ 0＜b＜2a\end{array}\right.$
所以以a為橫軸，以b為縱軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，

S_陰影=$5×5-\frac{1}{2}×2×4$=21，
由幾何概型可知，雙曲線C的離心率小于$\sqrt{5}$的概率為$P=\frac{21}{25}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運(yùn)用．