Question

19．某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20米，要求通行車輛限高4.5米，隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）為了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面積最小．現(xiàn)隧道口的最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，使得隧道口截面面積最�。浚ㄋ淼揽诮孛婷娣e公式為S=$\frac{2}{3}$lh）

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為：y=-ax²（a＞0），利用待定系數(shù)法求出$a=\frac{3}{200}$，由此能求出隧道設(shè)計(jì)的拱寬．
（2）拋物線最大拱高為h米，h≥6，利用待定系數(shù)法求出$a=\frac{{h-\frac{9}{2}}}{100}$，從而20＜l≤40，S=$\frac{3{l}^{3}}{{l}^{2}-400}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)拱高為$\frac{27}{4}$米，拱寬為$20\sqrt{3}$米時(shí)，使得隧道口截面面積最�。�

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為：y=-ax²（a＞0），則拋物線過點(diǎn)$（10，-\frac{3}{2}）$，
代入拋物線方程解得：$a=\frac{3}{200}$，…（3分）
令y=-6，解得：x=±20，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是40米．…（5分）
（2）拋物線最大拱高為h米，h≥6，拋物線過點(diǎn)（10，-（h-$\frac{9}{2}$）），
代入拋物線方程得：$a=\frac{{h-\frac{9}{2}}}{100}$
令y=-h，則$-\frac{{h-\frac{9}{2}}}{100}{x^2}=-h$，解得：${x}^{2}=\frac{100h}{h-\frac{9}{2}}$，
則${（\frac{l}{2}）^2}=\frac{100h}{{h-\frac{9}{2}}}$，$h=\frac{\frac{9}{2}{l}^{2}}{{l}^{2}-400}$，…（9分）
∵h(yuǎn)≥6，∴$\frac{\frac{9}{2}{l}^{2}}{{l}^{2}-400}$≥6，即20＜l≤40，
∴$S=\frac{2}{3}lh=\frac{2}{3}l•\frac{{\frac{9}{2}{l^2}}}{{{l^2}-400}}=\frac{{3{l^3}}}{{{l^2}-400}}\;\;\;\;\;（20＜l≤40）$，…（12分）
∴$S'=\frac{{9{l^2}（{l^2}-400）-3{l^3}•2l}}{{{{（{l^2}-400）}^2}}}=\frac{{3{l^2}（{l^2}-1200）\;}}{{{{（{l^2}-400）}^2}}}\;=\frac{{3{l^2}（l+20\sqrt{3}）（l-20\sqrt{3}）\;}}{{{{（{l^2}-400）}^2}}}$，
當(dāng)$20＜l＜20\sqrt{3}$時(shí)，S'＜0；當(dāng)$20\sqrt{3}＜l≤40$時(shí)，S'＞0，
即S在$（20，20\sqrt{3}）$上單調(diào)減，在（20$\sqrt{3}$，40]上單調(diào)增，
∴S在$l=20\sqrt{3}$時(shí)取得最小值，此時(shí)$l=20\sqrt{3}$，$h=\frac{27}{4}$
答：當(dāng)拱高為$\frac{27}{4}$米，拱寬為$20\sqrt{3}$米時(shí)，使得隧道口截面面積最�。�  …（15分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的具體應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二次函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，解題時(shí)要合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)．