Question

2．將3個(gè)半徑為1的球和一個(gè)半徑為$\sqrt{2}-1$的球疊為兩層放在桌面上，上層只放一個(gè)較小的球，四個(gè)球兩兩相切，那么上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離是（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)下層三個(gè)半徑為1的球的球心構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，上面小球的球心和這個(gè)等邊三角形構(gòu)成側(cè)棱長為$\sqrt{2}$的正三棱錐，上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離為小球半徑、大球半徑與正三棱錐的高相加之和．

解答 解：設(shè)下層三個(gè)半徑為1的球的球心分別為B，C，D，上層較小的球的球心為A
則△BCD是邊長為2的等邊三角形，AB=AC=AD=$\sqrt{2}$，
過A作平面BCD的垂線AF，交平面BCD于點(diǎn)F，F(xiàn)是△ABC的重心，
則BF=$\frac{2}{3}BE$=$\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
AF=$\sqrt{2-\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離是AF+1+$\sqrt{2}-1$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查上層小球最高點(diǎn)到頻桌面距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．