Question

9．給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)圖數(shù)f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是該函數(shù)的對(duì)稱中心，若f（x）=2x³-3x²+x+2，則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 4030
• D． 4032

Answer 1

分析 先求f′（x）的解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用中心對(duì)稱知識(shí)，把要求的f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）的值轉(zhuǎn)化為對(duì)稱中心點(diǎn)的函數(shù)值．

解答 解：依題意，得：f′（x）=6x²-6x+1，∴f″（x）=12x-6．
由f″（x）=0，即2x-1=0，得：x=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{1}{2}$代入函數(shù)f（x）的解析式得：f（$\frac{1}{2}$）=2，
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{1}{2}$，2）；
則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{2014}{2016}$）=…=2f（$\frac{1008}{2016}$）=2f（$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=2015f（$\frac{1}{2}$）=2015×2=4030．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的條件，解答此題的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用對(duì)稱知識(shí)把要求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中心對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值問(wèn)題，此題是中檔題．