Question

4．已知{a_n}，{b_n}均為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n．
（1）若a₁=8，b₂=24，且對(duì)任意的n∈N^*，總有$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，求數(shù)列{na_n]的前n項(xiàng)和P_n；
（2）當(dāng)n≤3時(shí)，b_n-a_n=n，若數(shù)列{a_n}唯一，求S_n．

Answer 1

分析 （1）通過在$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$中分別令n=1、2，結(jié)合a₁=8、b₂=24，可得a₂=72、b₁=8，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過b_n-a_n=n（n≤3）整理可知a₁q²-4a₁q+3a₁-1=0，對(duì)其根的判別式進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）依題意，$\frac{{S}_{1}}{{T}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=$\frac{3+1}{4}$=1，$\frac{{S}_{2}}{{T}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{_{1}+_{2}}$=$\frac{{3}^{2}+1}{4}$，
又∵a₁=8，b₂=24，
∴a₂=72，b₁=8，
又∵數(shù)列{a_n}、{b_n}均為等比數(shù)列，
∴a_n=8•9^n-1，b_n=8•3^n-1，
∴P_n=8（1•1+2•9+3•9²+…+n•9^n-1），
9P_n=8[1•9+2•9²+…+（n-1）•9^n-1+n•9ⁿ]，
兩式相減得：-8P_n=8（1+9+9²+…+9^n-1-n•9ⁿ），
∴P_n=n•9ⁿ-（1+9+9²+…+9^n-1）
=n•9ⁿ-$\frac{1-{9}^{n}}{1-9}$
=$\frac{1}{8}$+$\frac{8n-1}{8}$•9ⁿ；
（2）依題意，b₁=1+a₁，b₂=2+a₂，b₃=3+a₃，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則
（2+a₂）²=（1+a₁）（3+a₃），即（2+a₁q）²=（1+a₁）（3+a₁q²），
整理得：a₁q²-4a₁q+3a₁-1=0，
又∵數(shù)列{a_n}唯一，
∴若上式為完全平方式，則：
當(dāng)△=$（-4{a}_{1}）^{2}$-4a₁（3a₁-1）=4${{a}_{1}}^{2}$+4a₁=0時(shí)，
解得：a₁=-1（舍）或a₁=0（舍）；
當(dāng)△＞0，且a₁q²-4a₁q+3a₁-1=0有一個(gè)零根和非零根時(shí)，
由韋達(dá)定理可知：3a₁-1=0，即a₁=$\frac{1}{3}$，此時(shí)q=4；
當(dāng)△＞0且兩根都不為零時(shí)，但是若有一根可以使b_n中有項(xiàng)為0，則與b_n為等比數(shù)列矛盾，
那么這樣的話關(guān)于a_n的方程雖然兩根都不為0，但使得b_n中有0項(xiàng)的那個(gè)根由于與題目矛盾所以必須舍去，
這樣a_n也是唯一的，由此易求出a₁=-$\frac{4}{3}$，此時(shí)q=$\frac{3}{2}$（舍）或$\frac{5}{2}$；
∴當(dāng)a₁=$\frac{1}{3}$、q=4時(shí)，S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{9}$；
當(dāng)a₁=-$\frac{4}{3}$、q=$\frac{5}{2}$時(shí)，S_n=$\frac{-\frac{4}{3}（1-\frac{{5}^{n}}{{2}^{n}}）}{1-\frac{5}{2}}$=$\frac{8（{2}^{n}-{5}^{n}）}{9•{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．