Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），化簡結(jié)合S₁₀=110由等差數(shù)列的求和公式，可解得a₁和d的值，可得通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，∴a₂²=a₁a₄，
又∵{a_n}是等差數(shù)列，∴a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），即 a₁²+2a₁d+d²=a₁²+3a₁d，
化簡可得a₁=d，
∵S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=110，∴10a₁+45d=110．
又∵a₁=d，∴55d=110，∴d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=4ⁿ，
前n項(xiàng)和T_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，得出等差數(shù)列的公差d是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．