Question

2．△ABC內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于A₁，B₁，C₁，則$\frac{A{A}_{1}•cos\frac{A}{2}+B{B}_{1}•cos\frac{B}{2}+C{C}_{1}•cos\frac{C}{2}}{sinA+sinB+sinC}$=2．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，然后，連BA₁，則AA₁=2sin（B+$\frac{A}{2}$），然后，根據(jù)三角形的內(nèi)角平分線和內(nèi)角和定理，化簡(jiǎn)關(guān)系式，得到AA₁cos$\frac{A}{2}$=2cos（$\frac{B}{2}-\frac{C}{2}$）cos$\frac{A}{2}$=sinC+sinB，同理，得到BB₁cos$\frac{B}{2}$=sinA+sinC，CC₁cos$\frac{C}{2}$=sinA+sinB，然后，求解即可．

解答 解：如圖所示，連BA₁，則AA₁=2sin（B+$\frac{A}{2}$）
=2sin（$\frac{A+B+C}{2}+\frac{B}{2}-\frac{C}{2}$）
=2cos（$\frac{B}{2}-\frac{C}{2}$）
∴AA₁cos$\frac{A}{2}$=2cos（$\frac{B}{2}-\frac{C}{2}$）cos$\frac{A}{2}$
=cos$\frac{A+B-C}{2}$+cos$\frac{A+C-B}{2}$
=cos（$\frac{π}{2}-C$）+cos（$\frac{π}{2}-B$）
=sinC+sinB，
同理，得
BB₁cos$\frac{B}{2}$=sinA+sinC
CC₁cos$\frac{C}{2}$=sinA+sinB
∴AA₁cos$\frac{A}{2}$+BB₁cos$\frac{B}{2}$+CC₁cos$\frac{C}{2}$=2（sinA+sinB+sinC）
∴$\frac{A{A}_{1}•cos\frac{A}{2}+B{B}_{1}•cos\frac{B}{2}+C{C}_{1}•cos\frac{C}{2}}{sinA+sinB+sinC}$
=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角形的基本性質(zhì)、三角公式等、屬于難題．