Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意正整數(shù)n，都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2．
（1）設bn=log₂a_n．求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，設c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{_{n}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系及其等比數(shù)列的通項公式可得a_n，可得b_n，利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵對任意正整數(shù)n，都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2，
∴當n=1時，a₁=$\frac{3}{4}$a₁+2，解得a₁=8；
當n≥2時，a_n-1=$\frac{3}{4}{S}_{n-1}$+2，可得a_n-a_n-1=$\frac{3}{4}{a}_{n}$，化為a_n=4a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為8，公比為4，
∴${a}_{n}=8×{4}^{n-1}$=2²ⁿ⁺¹．
∴b_n=log₂a_n=2n+1．
∴b_n+1-b_n=2（n+1）+1-（2n+1）=2．
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，首項為3，公差為2．
（2）解：c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{_{n}_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n+1}×\frac{1}{4}$$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$，
當n=2k（k∈N^*）時，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{4}$$[（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{7}+\frac{1}{9}）$+…-$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{6（2n+3）}$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．