Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，且數(shù)列{a_n}的前n 項和S _n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）
（1）求證：{a_n}為等差數(shù)列；
（2）記數(shù)列b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，試歸納數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的定義即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）知：S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2，
∴a_n=a_n-1+2，∴a_n-a_n-1=2（n≥3）．
又∵a₂-a₁=2，
故a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴{a_n}為等差數(shù)列．
（2）由（1）知，${a_n}=2n+1∴{b_n}=\frac{2n+1}{3^n}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=3×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{3^2}+…+（{2n+1}）×\frac{1}{3^n}$  ①
$\frac{1}{3}{T_n}=3×\frac{1}{3^2}+5×\frac{1}{3^3}+…+（2n+1）×\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$  ②
①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=3×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3^2}+2×\frac{1}{3^3}+…+2×\frac{1}{3^n}-（2n+1）×\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$，
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+2（{\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}}）-（2n+1）×\frac{1}{{{3^{n+1}}}}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3^n}-（2n+1）•\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-（n+2）•\frac{1}{3^n}$．

點評 數(shù)列的諸多遞推關(guān)系中，項與和之間的關(guān)系是最基本的，根源性的關(guān)系．學生意識不到這種遞推關(guān)系的形成原因，具體到解題中，往往想不到，用不上；同樣，在諸多求和方法中，經(jīng)典的錯位相減法，亦是學生的困難之處．我們應該給學生不斷灌輸基本的，經(jīng)典的東西．本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．