Question

18．已知數(shù)列|a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+a_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系可得2a_n-a_n-1=n+1，變形a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，即可證明；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵S_n+a_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，n∈N^*，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3，解得a₁=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得2a_n-a_n-1=n+1，
∴a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，
∴{a_n-n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
（II）解：由（I）可得：a_n=n+$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，
令數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和為A_n．
A_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2•2³+…（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．