Question

13．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求向量$\overrightarrow{AC}$分別與向量$\overrightarrow{A′B′}$，$\overrightarrow{B′A′}$，$\overrightarrow{AD′}$，$\overrightarrow{CD′}$，$\overrightarrow{B′D′}$的夾角．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}$=$\overrightarrow{AB}$，得∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分別與向量$\overrightarrow{A′B′}$的夾角，由$\overrightarrow{{B}^{'}{A}^{'}}$=-$\overrightarrow{AB}$，得∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分別與向量$\overrightarrow{A′B′}$的夾角的補(bǔ)角，由已知∠CAD′是向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{AD′}$的夾角，∠ACD′是向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{CD′}$的夾角，由$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{{B}^{'}{D}^{'}}$，AC⊥BD，得$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{B′D′}$的夾角，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵$\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}$=$\overrightarrow{AB}$，∴∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分別與向量$\overrightarrow{A′B′}$的夾角，
∵AB=BC，AB⊥BC，
∴∠BAC=45°，
∴向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{A′B′}$的夾角為45°；
∵$\overrightarrow{{B}^{'}{A}^{'}}$=-$\overrightarrow{AB}$，∴∠BAC是向量$\overrightarrow{AC}$分別與向量$\overrightarrow{A′B′}$的夾角的補(bǔ)角，
∵AB=BC，AB⊥BC，
∴∠BAC=45°，
∴向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{B′A′}$的夾角為135°；
∠CAD′是向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{AD′}$的夾角，∠ACD′是向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{CD′}$的夾角，
∵AD′=AC=D′C，∴∠CAD′=∠ACD'=60°，
∴向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{AD′}$的夾角為60°，向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{CD′}$的夾角為120°；
∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{{B}^{'}{D}^{'}}$，AC⊥BD，∴$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{B′D′}$的夾角為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量與向量的夾角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．