Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一個周期內(nèi)的部分對應(yīng)值如下表：

x	$-\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$
f（x）	-1	1	$\frac{1}{2}$	-1

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的周期，然后求出ω，利用函數(shù)經(jīng)過（0，1），求解φ，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)g（x）=f（x）+2sinx為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求解函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期$T=\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）=π$，
所以$ω=\frac{2π}{π}=2$．
又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以$φ=\frac{π}{2}$．
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{2}）=cos2x$．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=$-2{（sinx-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{2}$．
由sinx∈[-1，1]，所以當(dāng)$sinx=\frac{1}{2}$時，g（x）有最大值$\frac{3}{2}$；
當(dāng)sinx=-1時，g（x）有最小值-3．…（13分）

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力．