Question

20．如圖，已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E為側(cè)棱SC的中點．
（1）求證：SA∥平面EDB；
（2）求二面角E-DB-C余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明SA∥平面EDB；
（2）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角E-DB-C余弦值的大�。�

解答 證明：（1）連接AC交BD于0，
連接OE，
∵E為側(cè)棱SC的中點，0是AC的中點，
∴OE∥SA，
∵SA?平面EDB，OE?平面EDB；
∴SA∥平面EDB．
解：（2）∵側(cè)棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，
∴以D為坐標原點，以DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間坐標系如圖：
則A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0）
S（0，0，4），E（0，1，2），
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=E（0，1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=-2，x=2，
即$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
平面DBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}+1}×1}=\frac{1}{\sqrt{9}}$=$\frac{1}{3}$；
即二面角E-DB-C余弦值的大小為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了直線和平面平行的判定定理，考查了法向量、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用和二面角的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力．