Question

10．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，D，E分別是AA₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面ACE；
（2）求點(diǎn)E到平面BCD的距離．

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，證明$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0，可得BD⊥AC，BD⊥AE，即可證明BD⊥平面ACE；
（2）求出平面BCD的法向量，再求點(diǎn)E到平面BCD的距離．

解答 （1）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，1），E（1，1，2），
∴$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，1，2），
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0，
∴BD⊥AC，BD⊥AE，
∵AC∩AE=A，
∴BD⊥平面ACE；
（2）解：設(shè)平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2y+z=0}\\{2x-2y=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵$\overrightarrow{BE}$=（1，-1，2），
∴點(diǎn)E到平面BCD的距離為$\frac{1-1+4}{\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

點(diǎn)評 本題給出直三棱柱，求證線面垂直并求點(diǎn)到平面的距離．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，及其應(yīng)用等知識，正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵，屬于中檔題．