Question

12．已知f（x）=ax-lnx，a∈R
（Ⅰ）若f（x）在x=1處有極值，求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若存在正實數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是2，求出a的值．

Answer 1

分析 （I）由f（x）在x=1處有極值，可得f′（1）=0，解得a，可得f（x），解出f′（x）＞0，即可得出f（x）的單調遞增區(qū)間．
（II）由f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，存在正實數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是2，對a分類討論，利用單調性即可得出a的取值．

解答 解：（I）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$（x＞0），
∵f（x）在x=1處有極值，
∴f′（1）=a-1=0，解得a=1，
經(jīng)過檢驗，a=1時，f（x）在x=1處有極值，
∴a=1．
∴f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得x＞1，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（1，+∞）．
（II）由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
∵存在正實數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是2，
當$\frac{1}{a}≥e$時，f′（x）≤0，∴f（x）在區(qū)間（0，e]上單調遞減，由f（e）=ae-1=2，解得a=$\frac{3}{e}$，不滿足條件，舍去；
當$0＜\frac{1}{a}＜e$時，則f（x）在區(qū)間$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞減，在區(qū)間$（\frac{1}{a}，e）$上單調遞增．
∴當x=$\frac{1}{a}$時取得極小值即最小值，∴$f（\frac{1}{a}）$=1+lna=2，解得a=e，滿足條件．
綜上可得：當a=e時，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是2．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．