Question

3．設(shè)集合 M={（x，y）|F（x，y）=0}為平面直角坐標系x Oy內(nèi)的點集，若對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂＜0，則稱點集 M滿足性質(zhì) P．給出下列四個點集：
①R={（x，y）|sinx-y+1=0}②S={（x，y）|lnx-y=0}
③T={（x，y）|x²+y²-1=0}④W={（x，y）|xy-1=0}
其中所有滿足性質(zhì) P的點集的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①�。�0，1）∈R，則不存在（x₂，sinx₂+1）∈R，滿足x₁x₂+y₁y₂＜0，即可判斷出正誤；
②�。�1，0）∈S，則不存在（x₂，lnx₂）∈S（x₂＞0），滿足x₁x₂+y₁y₂＜0，即可判斷出正誤；
③?（cosθ₁，sinθ₁）∈T，假設(shè)θ₁∈[0，2π），則存在（cosθ₂，sinθ₂）∈T，只要θ₂∈$（2kπ+\frac{π}{2}+{θ}_{1}，2kπ+\frac{3π}{2}+{θ}_{1}）$（k∈Z），滿足cos（θ₁-θ₂）＜0，即滿足x₁x₂+y₁y₂＜0，即可判斷出正誤．
④?$（{x}_{1}，\frac{1}{{x}_{1}}）$∈W，則取x₂=-x₁，滿足${x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-${x}_{1}^{2}-\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$＜0，即可判斷出正誤．

解答 解：①�。�0，1）∈R，則不存在（x₂，sinx₂+1）∈R，滿足0•x₂+1•（sinx₂+1）=sinx₂+1＜0，因此R不滿足性質(zhì)；
②�。�1，0）∈S，則不存在（x₂，lnx₂）∈S（x₂＞0），滿足1•x₂+0•lnx₂＜0，因此S不滿足性質(zhì)P；
③?（cosθ₁，sinθ₁）∈T，假設(shè)θ₁∈[0，2π），則存在（cosθ₂，sinθ₂）∈T，滿足cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂=cos（θ₁-θ₂）＜0，只要θ₂∈$（2kπ+\frac{π}{2}+{θ}_{1}，2kπ+\frac{3π}{2}+{θ}_{1}）$（k∈Z），因此T滿足性質(zhì)P．．
④?$（{x}_{1}，\frac{1}{{x}_{1}}）$∈W，則取x₂=-x₁，滿足${x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-${x}_{1}^{2}-\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$＜0，因此W滿足性質(zhì)P．
綜上可得：只有③④正確．
故選：B．

點評 本題考查了新定義即函數(shù)滿足的某種數(shù)量積性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．