Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤2；
（2）若對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）≥2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≤2的解集．
（2）由絕對(duì)值的意義求得f（x）的最小值為|a-1|，可得|a-1|≥2，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=2，不等式f（x）≤2，即|x-1|+|x-2|≤2．
而|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而2.5和1.5對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，
故不等式f（x）≤2的解集為[1.5，2.5]．
（2）由于函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、a對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
它的最小值為|a-1|，∴|a-1|≥2，
可得a-1≥2 或a-1≤-2，求得a≥3 或a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．