14.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意x∈R,都有f(x+2)=f(x)+2,則f(1)=1;$\underset{\stackrel{20}{∑}}{k=1}$f(k)=210.(注:$\sum_{k=1}^{n}$ak=a1+a2+…+an

分析 由題意可得 f(0)=0,f(x+2)=f(x)+2,由此求得f(1)、f(2)、f(3)、…、f(20)的值,可得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(20)的值.

解答 解:∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,
又對任意x∈R,都有f(x+2)=f(x)+2,
令x=-1,可得f(1)=f(-1)+2=-f(1)+2,∴f(1)=1.
令x=0,可得f(2)=f(0)+2=2,
令x=1,可得f(3)=f(1)+2=3,
令x=2,可得f(4)=f(2)+2=4,
令x=3,可得f(5)=f(3)+2=5,…
以此類推,可得f(n)=n,n∈[1,20],
∴$\underset{\stackrel{20}{∑}}{k=1}$f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(20)=1+2+3+…+20=210,
故答案為:1; 210.

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì),求函數(shù)的值,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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