Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜|2a+1|的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）采用零點分段法解含絕對值的不等式；
（2）運用絕對值三角不等式求最值，再解不等式．

解答 解：（1）采用零點分段法求解，
①當(dāng)x≥1時，x+2+x-1≤4，解得x∈[1，$\frac{3}{2}$]；
②當(dāng)-2≤x＜1時，x+2-x+1≤4，解得x∈[-2，1）；
③當(dāng)x＜-2時，-x-2-x+1≤4，解得x∈[-$\frac{5}{2}$，-2）；
綜合以上討論得，x∈[-$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
（2）因為，不等式f（x）＜|2a+1|的解集是空集，
所以，f（x）_min≥|2a+1|，
根據(jù)絕對值三角不等式得，
|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，即f（x）_min=3，
所以，|2a+1|≤3，解得a∈[-2，1]，
即實數(shù)a的取值范圍為[-2，1]．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，用到零點分段法，以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．