Question

20．f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．若f（2）=1，解關(guān)于x的不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 若f（2）=1，結(jié)合抽象函數(shù)將不等式化為f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜f（2）+f（2），再進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：∵f（2）=1，∴2=1+1=f（2）+f（2），
對于不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2，有$\left\{\begin{array}{l}{x+3＞0}\\{\frac{1}{x}＞0}\end{array}\right.$，
解可得x＞0，
∴不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2，
等價為不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜f（2）+f（2），
∴f（x²+3x）-f（2）＜f（2），
即f（$\frac{{x}^{2}+3x}{2}$）＜f（2），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴0＜$\frac{{x}^{2}+3x}{2}$＜2，解得-4＜x＜-3或0＜x＜1，
又由x＞0，
即不等式的解集為（0，1）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．