3.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,0<φ<π)圖象的一段如圖所示
(1)求此函數(shù)的解析式; 
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間$[0,\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值.

分析 (1)由圖象可得A值,由周期公式可得ω,代點(diǎn)結(jié)合角的范圍可得φ,可得解析式;
(2)由$0≤x≤\frac{π}{2}$和三角函數(shù)的最值可得.

解答 解:(1)由圖象可得A=$\frac{2}{3}$,由$\frac{T}{2}$=-$\frac{π}{12}$-(-$\frac{7π}{12}$)=$\frac{π}{2}$可得周期T=π,
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2,∴f(x)=$\frac{2}{3}$sin(2x+φ),
∵$f(x)=\frac{2}{3}sin(2x+φ)過(guò)點(diǎn)(-\frac{π}{12},\frac{2}{3})$,∴$sin(-\frac{π}{6}+φ)=1$
又0<φ<π,∴$-\frac{π}{6}<φ-\frac{π}{6}<\frac{5π}{6}$,故$φ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$,可得$φ=\frac{2π}{3}$,
∴此函數(shù)的解析式為:$f(x)=\frac{2}{3}sin(2x+\frac{2π}{3})$;
(2)∵$0≤x≤\frac{π}{2}$,∴$\frac{2π}{3}≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{5π}{3}$,
∴f(x)在$2x+\frac{2π}{3}=\frac{2π}{3}$即x=0時(shí)取得最大值$f(0)=\frac{2}{3}sin\frac{2π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
f(x)在$2x+\frac{2π}{3}=\frac{3π}{2}$即$x=\frac{5π}{12}$時(shí)取得最小值$f(0)=\frac{2}{3}sin\frac{3π}{2}=-\frac{2}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和解析式,涉及三角函數(shù)的最值,屬中檔題.

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