Question

3．[重點(diǎn)中學(xué)做]設(shè)H、P是△ABC所在平面上異于A、B、C的兩點(diǎn)，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{h}$分別表示向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PH}$．已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{h}$，|$\overrightarrow{AH}$|=1，|$\overrightarrow{BH}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，則∠C=（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的公式和條件進(jìn)行化簡(jiǎn)得到H是△ABC的垂心，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題意知$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PH}$，
即$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PH}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PA}$）=0，即$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{HB}$=0．
同理得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{HC}$=0，故H是△ABC的垂心，
設(shè)∠CAD=∠CBE=θ，則DH=$\sqrt{2}$sinθ，BD=$\sqrt{2}$cosθ，DC=tanθ（1+$\sqrt{2}$sinθ）=$\frac{sinθ+\sqrt{2}sin^2θ}{cosθ}$，
∴BD+DC=$\sqrt{2}$cosθ+$\frac{sinθ+\sqrt{2}sin^2θ}{cosθ}$=$\sqrt{3}$，
整理得$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$，即cos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，即θ=$\frac{π}{12}$，則C=$\frac{5π}{12}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷H是△ABC的垂心是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和運(yùn)算能力．