Question

8．[重點(diǎn)中學(xué)做]如圖所示，以O(shè)x為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-$\frac{4}{5}$．
（1）求$\frac{sin2α+cos2α}{1+co{s}^{2}a}$的值；
（2）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosα、sinα、tanα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得要去式子的值．
（2）利用兩個(gè)向量數(shù)量積的定義求得cos（α-β） 和sin（α-β）的值，再利用兩角差的正弦公式求得 sinβ=sin[α-（α-β）]的值．

解答 解：（1）由題意可得cosα=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{sin2α+cos2α}{1+co{s}^{2}a}$=$\frac{2sinαcosα{+cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{2cos}^{2}α{+sin}^{2}α}$=$\frac{2tanα+1{-tan}^{2}α}{2{+tan}^{2}α}$=-$\frac{17}{41}$．
（2）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=|OP|•|OQ|•cos（α-β）=cos（α-β）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即 cos（α-β）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{3}$-（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}+4\sqrt{6}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．