Question

16．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：
（1）焦點坐標是F（0，-2）
（2）焦點在直線3x-4y-12=0上
（3）拋物線過點A（-3，2）．

Answer 1

分析 （1）$\frac{p}{2}$=2，p=4，焦點在y軸的負半軸上，可得拋物線的標準方程；
（2）先根據(jù)拋物線是標準方程可確定焦點的位置，再由直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點可得到焦點坐標，根據(jù)拋物線的焦點坐標和拋物線的標準形式可得到標準方程；
（3）P（-3，2）在第二象限，所以滿足條件的拋物線的標準方程可以是y²=-2p₁x（p₁＞0）或x²=2p₂y（p₂＞0），代入（-3，2），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）$\frac{p}{2}$=2，∴p=4，焦點在y軸的負半軸上，∴拋物線的標準方程為x²=-8y；
（2）對于直線方程3x-4y-12=0，
令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，
∴拋物線的焦點為（0，-3）或（4，0）．
當(dāng)焦點為（0，-3）時，$\frac{p}{2}$=3，
∴p=6，此時拋物線的標準方程為x²=-12y；
當(dāng)焦點為（4，0）時，$\frac{p}{2}$=4，
∴p=8，此時拋物線的標準方程為y²=16x，
∴滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x²=-12y和y²=16x；
（3）因為點（-3，2）在第二象限，
所以滿足條件的拋物線的標準方程可以是y²=-2p₁x（p₁＞0）或x²=2p₂y（p₂＞0），
解得p₁=$\frac{2}{3}$，p₂=$\frac{9}{4}$  
因此，滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為y²=-$\frac{4}{3}$x和x²=$\frac{9}{2}$y．

點評 本題主要考查拋物線的標準方程．拋物線的標準方程的焦點一定在坐標軸上且頂點一定在原點，屬于中檔題．