Question

5．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且bsinA=（$\sqrt{2}$b-c）sinB．
（1）求證：$\sqrt{2}$a，b，$\sqrt{2}$c成等差數(shù)列；
（2）若sinC=5sinA，求cosB．

Answer 1

分析 （1）由已知等式結合正弦定理可證$\sqrt{2}$a，b，$\sqrt{2}$c成等差數(shù)列；
（2）由sinC=5sinA，得c=5a，結合（1）可得$b=3\sqrt{2}a$，代入余弦定理得答案．

解答 （1）證明：由bsinA=（$\sqrt{2}$b-c）sinB，結合正弦定理得，
ab=（$\sqrt{2}b-c$）b，
∴a=$\sqrt{2}b-c$，即a+c=$\sqrt{2}b$，也就是$\sqrt{2}a+\sqrt{2}c=2b$，
∴$\sqrt{2}$a，b，$\sqrt{2}$c成等差數(shù)列；
（2）解：∵sinC=5sinA，∴c=5a，
∵a+c=$\sqrt{2}b$，∴$b=3\sqrt{2}a$，
∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{26{a}^{2}-18{a}^{2}}{10{a}^{2}}=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質，考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．