Question

17．定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x，y總有f（x+y）=f（x）f（y），f（x）不恒為零，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（2）=2，解不等式f（5x-x²）＞8；
（3）設(shè)A={（x，y）|f（x²）f（y²）≤f（1）}，且B={（x，y）|f（ax-y+$\sqrt{2}$）=1，a∈R}，若A∩B=∅，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x₂＞x₁，則x₂-x₁＞0，由題意可得f（x₂-x₁）＞1，再由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＞0，可得函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）f（5x-x²）＞8，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，可得5x-x²＞6，即可得出結(jié)論；
（3）化簡A為 {（x，y）|x²+y²≤1 }，表示一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、半徑等于1的圓面（包含邊界）．化簡B為 {（x，y）|ax-y+$\sqrt{2}$=0 }，表示一條過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$）的一條直線．根據(jù)圓和直線相切或相離，可得$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≥1，由此解得a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)x₂＞x₁＞0，則x₂-x₁＞0，由題意可得f（x₂-x₁）＞1，f（x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＞0，
故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵f（2）=2，∴f（6）=8，
∵f（5x-x²）＞8，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴5x-x²＞6，
∴x²-5x+6＜0，
∴2＜x＜3，
∴不等式f（5x-x²）＞8的解集為（2，3）；
（3）A={（x，y）|f（x²）f（y²）≤f（1）}={（x，y）|f（x²+y²）≤f（1）}={（x，y）|x²+y²≤1 }，表示一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、半徑等于1的圓面（包含邊界）．
B={（x，y）|f（ax-y+$\sqrt{2}$）=f（0）}={（x，y）|ax-y+$\sqrt{2}$=0 }，表示一條過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$）的一條直線．
若A∩B=∅，則圓和直線相切或相離，故有$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≥1，解得-1≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．