Question

12．求經(jīng)過點B（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）且與曲線y=cosx相切的直線方程．

Answer 1

分析 設(shè)出切點，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線的方程，代入點B，解方程可得m，進而得到所求的切線的方程．

解答 解：設(shè)切點為（m，n），即有n=cosm，
由y=cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=-sinx，
可得切線的斜率為k=-sinm，
切線的方程為y-cosm=-sinm（x-m），
代入點（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），可得cosm-$\frac{π}{3}$sinm+msinm=$\frac{1}{2}$，
可令f（m）=cosm-$\frac{π}{3}$sinm+msinm，
f′（m）=-sinm-$\frac{π}{3}$cosm+sinm+mcosm=（m-$\frac{π}{3}$）•cosm，
當(dāng)$\frac{π}{3}$＜m＜$\frac{π}{2}$時，f′（m）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{3}$時，f′（m）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）在x=$\frac{π}{3}$處取得極小值，且為$\frac{1}{2}$，
故cosm-$\frac{π}{3}$sinm+msinm=$\frac{1}{2}$的解為m=$\frac{π}{3}$，
即有與曲線y=cosx相切的直線方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{π}{3}$），即為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}π}{6}$+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，注意切點的求法，考查直線方程的運用，屬于中檔題．