Question

5．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-3|}，x≠3}\\{1，x=3}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是a＜-1且a≠-2．

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-3|}，x≠3}\\{1，x=3}\end{array}\right.$的圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合知x²+ax+b=0有2個不同的正實數(shù)解，且其中一個為1，從而可得-1-a＞0且-1-a≠1；從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-3|}，x≠3}\\{1，x=3}\end{array}\right.$的圖象如下，
，
∵關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個不同實數(shù)解，
∴x²+ax+b=0有2個不同的正實數(shù)解，且其中一個為1；
故1+a+b=0，故b=-a-1，
故x²+ax+b=x²+ax-1-a=（x-1）（x+1+a）=0，
故-1-a＞0且-1-a≠1；
故a＜-1且a≠-2；
故答案為：a＜-1且a≠-2．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了因式分解的應(yīng)用．