Question

17．已知f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$），f（0）=0，且函數(shù)f（x）圖象上的任意兩條對稱軸之間距離的最小值是$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式，并求g（x）在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的正弦公式化簡f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（0）=0求出φ的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（$\frac{π}{8}$）的值．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），
故 $\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，求得ω=2．
再根據(jù)f（0）=sin（φ+$\frac{π}{4}$）=0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{4}$，
故 f（x）=$\sqrt{2}$sin2x，f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=1．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到函數(shù)y=g（x）=$\sqrt{2}$sin2（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值為$\sqrt{2}$；
當2x-$\frac{π}{3}$=0時，g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最小值為0．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由f（0）=0求出φ的值，可得f（x）的解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．