Question

2．如圖，一樓房高AB為19$\sqrt{3}$米，某廣告公司在樓頂安裝一塊寬BC為4米的廣告牌，CD為拉桿，廣告牌的傾角為60°，安裝過(guò)程中，一身高為$\sqrt{3}$米的監(jiān)理人員EF站在樓前觀(guān)察該廣傳牌的安裝效果：為保證安全，該監(jiān)理人員不得站在廣告牌的正下方：設(shè)AE=x米，該監(jiān)理人員觀(guān)察廣告牌的視角∠BFC=θ．
（1）試將tanθ表示為x的函數(shù)；
（2）求點(diǎn)E的位置，使θ取得最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)作CG⊥AE于G，則FH⊥AB于H，交CG于M，作BN⊥CG于N，則θ=∠CFM-∠BFH，利用銳角的正切的定義可知在Rt△CFM中tan∠CFM=$\frac{20\sqrt{3}}{x-2}$、在Rt△BFH中tan∠BFH=$\frac{18\sqrt{3}}{x}$，利用差角的正切公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知，tanθ=$2\sqrt{3}$•$\frac{x+18}{{x}^{2}-2x+1080}$，通過(guò)令t=x+18，換元計(jì)算可知tanθ=$\frac{2\sqrt{3}}{t+\frac{1440}{t}-38}$，進(jìn)而利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）作CG⊥AE于G，則FH⊥AB于H，交CG于M，
作BN⊥CG于N，則θ=∠CFM-∠BFH，
在Rt△BCN中，BC=4，∠CBN=60°，則BN=2，CN=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CFM中，有tan∠CFM=$\frac{CM}{MF}$=$\frac{CN+NM}{AE-BN}$=$\frac{20\sqrt{3}}{x-2}$；
在Rt△BFH中，有tan∠BFH=$\frac{BH}{HF}$=$\frac{18\sqrt{3}}{x}$；
∴tanθ=tan（∠CFM-BFH）=$\frac{tan∠CFM-tan∠BFH}{1+tan∠CFM•tan∠BFH}$
=$\frac{\frac{20\sqrt{3}}{x-2}-\frac{18\sqrt{3}}{x}}{1+\frac{20\sqrt{3}}{x-2}•\frac{18\sqrt{3}}{x}}$=$\frac{2\sqrt{3}x+36\sqrt{3}}{{x}^{2}-2x+1080}$，
依題意，監(jiān)理人員只能在G點(diǎn)右側(cè)，即x∈（2，+∞）； 
（2）由（1）可知，tanθ=$\frac{2\sqrt{3}x+36\sqrt{3}}{{x}^{2}-2x+1080}$=$2\sqrt{3}$•$\frac{x+18}{{x}^{2}-2x+1080}$，
令t=x+18，則t∈（20，+∞），
故tanθ=$2\sqrt{3}$•$\frac{t}{（t-18）^{2}-2（t-18）+1080}$=$\frac{2\sqrt{3}}{t+\frac{1440}{t}-38}$≤$\frac{\sqrt{3}}{12\sqrt{10}-19}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1440}{t}$即t=$12\sqrt{10}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，x=$12\sqrt{10}$-18，
又∵θ為銳角，y=tanθ在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$12\sqrt{10}$-18時(shí)，θ取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查是一道關(guān)于函數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．