Question

19．2012年中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)部批準(zhǔn)《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》為國(guó)家環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)增設(shè)和調(diào)整了顆粒物、二氧化氮、鉛、笨等的濃度限值，并從2016年1月1日起在全國(guó)實(shí)施．空氣質(zhì)量的好壞由空氣質(zhì)量指數(shù)確定，空氣質(zhì)量指數(shù)越高，代表空氣污染越嚴(yán)重，某市對(duì)市轄的某兩個(gè)區(qū)加大了對(duì)空氣質(zhì)量的治理力度，從2015年11月1日起監(jiān)測(cè)了100天的空氣質(zhì)量指數(shù)，并按照空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為：指標(biāo)小于或等于115為通過(guò)，并引進(jìn)項(xiàng)目投資．大于115為未通過(guò)，并進(jìn)行治理．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)如下．

空氣質(zhì)量指數(shù)	（0，35]	[35，75]	（75，115]	（115，150]	（150，250]	＞250
空氣質(zhì)量類(lèi)別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴(yán)重污染
甲區(qū)天數(shù)	13	20	42	20	3	2
乙區(qū)天數(shù)	8	32	40	16	2	2

（Ⅰ）以頻率值作為概率值，求甲區(qū)和乙區(qū)通過(guò)監(jiān)測(cè)的概率；
（Ⅱ）對(duì)于甲區(qū)，若通過(guò)，引進(jìn)項(xiàng)目可增加稅收40（百萬(wàn)元），若沒(méi)通過(guò)監(jiān)測(cè)，則治理花費(fèi)5（百萬(wàn)元）；對(duì)于乙，若通過(guò)，引進(jìn)項(xiàng)目可增加稅收50（百萬(wàn)元），若沒(méi)通過(guò)監(jiān)測(cè)，則治理花費(fèi)10（百萬(wàn)元）．．在（Ⅰ）的前提下，記X為通過(guò)監(jiān)測(cè)，引進(jìn)項(xiàng)目增加的稅收總額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以頻率值作為概率值，利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出甲區(qū)和乙區(qū)通過(guò)監(jiān)測(cè)的概率$\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為90，45，30，-15，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由題意得甲區(qū)通過(guò)監(jiān)測(cè)的概率約為：$\frac{42+20+13}{100}=\frac{3}{4}$，
乙區(qū)通過(guò)監(jiān)測(cè)的概率約為：$\frac{40+32+8}{100}$=$\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為90，45，30，-15，
P（X=90）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{5}$，
P（X=45）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=30）=$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=-15）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{50}$	$\frac{1}{50}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

EX=$90×\frac{3}{5}+45×\frac{1}{5}+30×\frac{3}{20}-15×\frac{1}{20}=66\frac{3}{4}$（百萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．