Question

16．（Ⅰ） 比較下列兩組實(shí)數(shù)的大�。�
①$\sqrt{2}$-1與2-$\sqrt{3}$；           ②2-$\sqrt{3}$與$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；
（Ⅱ） 類比以上結(jié)論，寫出一個更具一般意義的結(jié)論，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，對于①、②，將不等式的左右兩邊同時平方，再作差比較大小，即可得答案；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得一般結(jié)論：若n是正整數(shù)，則$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$，利用作差法證明即可得證明．

解答 解：（Ⅰ） ①（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）²-（2+1）²=2$\sqrt{6}$-4＞0．
故$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$＞2+1，即$\sqrt{2}$-1＞2-$\sqrt{3}$．
②（2+$\sqrt{5}$）²-（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）²=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{18}$=2$\sqrt{20}$-2$\sqrt{18}$＞0．
故2+$\sqrt{5}$＞$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，即2-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）  由（Ⅰ）可得一般結(jié)論：若n是正整數(shù)，則$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$．
證明如下：左-右=（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）-（$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$）=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}$=$\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2）}}$＞0，
則有$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n+2}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式大小的比較，關(guān)鍵是掌握不等式大小比較的常見方法．