Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為非零向量，則“（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）對任意非零實數x，y都成立”是“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分又不必要條件

Answer 1

分析 “（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）對任意非零實數x，y都成立”，可得：（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）•（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）=2xy${\overrightarrow{a}}^{2}$-xy${\overrightarrow}^{2}$+$（2{y}^{2}-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
?$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$+$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，必然有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．反之不一定成立．

解答 解：∵“（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）對任意非零實數x，y都成立”，
∴（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）•（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）=2xy${\overrightarrow{a}}^{2}$-xy${\overrightarrow}^{2}$+$（2{y}^{2}-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
?$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$+$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
必然有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
反之：可得（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）•（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）=2xy${\overrightarrow{a}}^{2}$-xy${\overrightarrow}^{2}$+$（2{y}^{2}-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2xy（${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$）=0，不一定成立．
因此“（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$）對任意非零實數x，y都成立”是“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$”的充分不必要條件．
故選：A．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．