Question

16．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化為a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1------------------------（2分）
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{e}$，當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時f′（x）＜0，
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時f′（x）＞0-----------------------------------------------（4分）
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞），遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{e}$）------------（6分）
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，
即a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，則F′（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴a≤3．-------------------（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．