Question

8．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，它的體積是$15\sqrt{3}$，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，
AC=3，B₁在底面的射影是D，且D為BC的中點(diǎn)．
（1）求側(cè)棱BB₁與底面ABC所成角的大��；
（2）求異面直線B₁D與CA₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）B₁D⊥面ABC，∠B₁BD就是側(cè)棱BB₁與底面ABC所成的角θ，運(yùn)用棱柱的體積公式和解直角三角形，即可得到所求值；
（2）取B₁C₁的中點(diǎn)E，連EC，A₁E，則∠ECA₁（或其補(bǔ)角）為所求的異面直線所成角的大小，運(yùn)用解直角三角形，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）依題意，B₁D⊥面ABC，
∠B₁BD就是側(cè)棱BB₁與底面ABC所成的角θ，
由${V_{ABC-{A_1}{B_1}C}}_1={S_{△ABC}}•{B_1}D=\frac{1}{2}×4×3×{B_1}D=15\sqrt{3}$，
則${B_1}D=\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
由D為BC的中點(diǎn)，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
即有$BD=\frac{5}{2}$，
由${B_1}D=BDtanθ=\frac{5}{2}tanθ$，即$tanθ=\sqrt{3}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，即側(cè)棱BB₁與底面ABC所成角為$\frac{π}{3}$；
（2）取B₁C₁的中點(diǎn)E，連EC，A₁E，
則∠ECA₁（或其補(bǔ)角）為所求的異面直線所成角的大小，
B₁D⊥面ABC，B₁D‖CE，面ABC‖面A₁B₁C₁∴CE⊥面A₁B₁C₁，
∴CE⊥A₁E，tan∠A₁CE=$\frac{{A}_{1}E}{EC}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所求異面直線B₁D與CA₁所成角為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間角的求法，主要考查直線和平面所成的角和異面直線所成的角的求法，考查直線和平面的位置關(guān)系，屬于中檔題．