Question

17．已知定義在（-1，1）上的函數(shù)$f（x）=\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$為奇函數(shù)，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，便有f（0）=0，這便得到b=0，再根據(jù)f$（\frac{1}{2}）$=$\frac{2}{5}$即可求出a=1，從而得出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）}$，容易判斷f′（x）＞0，從而知道f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，而將原不等式變成f（t-1）＜f（-t），這便得到$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t-1＜1}\\{-1＜-t＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$，解該不等式組即得原不等式的解．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，且在x=0有定義；
∴f（0）=b=0；
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，即$\frac{{\frac{1}{2}a}}{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+1}}=\frac{2}{5}$；
解得a=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{{{{（{{x^2}+1}）}^2}}}$；
∵x∈（-1，1），0≤x²＜1，1-x²＞0；
∴f'（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增；
由f（t-1）+f（t）＜0，得f（t-1）＜-f（t）=f（-t）；
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜t-1＜1}\\{-1＜-t＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}}\right.$；
解得$0＜t＜\frac{1}{2}$；
∴原不等式解集為（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，f（0）=0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，商的求導(dǎo)公式，以及奇函數(shù)的定義的運(yùn)用．