Question

2．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ） 若對?x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）問題轉化為2lnx+x+$\frac{3}{x}$≥a恒成立，令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，通過討論h（x）的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）導函數(shù)f′（x）=1+lnx，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，
當0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且極小值為f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）對?x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，
等價于2lnx+x+$\frac{3}{x}$≥a恒成立，
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1或x=-3（舍去），
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）在x=1處取得最小值，且最小值為f（1）=4，
因而a≤4，故a的取值范圍是：（-∞，4]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查函數(shù)恒成立問題，導數(shù)的應用，是一道中檔題．