Question

14．在平面直角坐標(biāo)xOy中，設(shè)圓M的半徑為1，圓心在直線2x-y-4=0上，若圓M上不存在點(diǎn)N，使NO=$\frac{1}{2}$NA，其中A（0，3），則圓心M橫坐標(biāo)的取值范圍（-∞，0）∪（$\frac{12}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)N（x，y），由NO=$\frac{1}{2}$NA，化簡可得x²+（y+1）²=4．再設(shè)圓心M橫坐標(biāo)為a，由條件求得圓M的方程．問題轉(zhuǎn)化為兩圓沒有共公點(diǎn)，由此求得a的范圍．

解答 解：設(shè)N（x，y），由NO=$\frac{1}{2}NA$，得4（x²+y²）=x²+（y-3）²，
化簡可得x²+（y+1）²=4．
再設(shè)圓心M橫坐標(biāo)為a，則圓心M縱坐標(biāo)為2a-4．
圓M的方程為 （x-a）²+（y-2a+4）²=1，
于是，問題轉(zhuǎn)化為兩圓沒有共公點(diǎn)，
∴$\sqrt{{a}^{2}+（-1-2a+4）^{2}}$＞3，或$\sqrt{{a}^{2}+（-1-2a+4）^{2}}$＜1
從而解得a＜0，或a＞$\frac{12}{5}$．
故答案為：（-∞，0）∪（$\frac{12}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．