Question

5．在棱長均為a的正三棱錐S一ABC中．
（1）棱錐的高為$\frac{\sqrt{6}}{3}$a；
（2）棱錐的斜高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
（3）SA與底面ABC的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（4）二面角S-BC-A的余弦值為$\frac{1}{3}$；
（5）取BC中點(diǎn)M，連SM，則AC與SM所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正三棱錐的邊長關(guān)系求三棱錐高的值，
（2）在△SBC中，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解．
（3）根據(jù)線面角的定義得∠SAD是SA與底面ABC的夾角，進(jìn)行求解，
（4）根據(jù)二面角的定義得∠SMA二面角S-BC-A的平面角，進(jìn)行求解，
（5）根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行平移求解即可．

解答 解：過S作SD⊥平面ABC于D，則D是△ABC的中心，
連接AD，延長交BC于M則M是BC的中點(diǎn)，連接SM，則SM是棱錐的一個斜高．
∵棱長均為a的正三棱錐S一ABC，
∴BM=$\frac{a}{2}$，AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AD=$\frac{2}{3}AM$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DM=$\frac{1}{3}AM$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
（1）棱錐的高為SD=$\sqrt{S{A}^{2}-S{D}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a；
（2）棱錐的斜高為SM=$\sqrt{S{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
（3）∠SAD是SA與底面ABC的夾角，則cos∠SAD=$\frac{AD}{SA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（4）∠SMA二面角S-BC-A的平面角，則cos∠SMA=$\frac{DM}{SM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$；
（5）取BC中點(diǎn)M，連SM，取AB中點(diǎn)E，連EM，SE，
則EM=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}$a，SE=SM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，且EM∥AC，
即EM與SM所成的角即是AC與SM所成的角，
則cos∠SME=$\frac{S{M}^{2}+E{M}^{2}-S{E}^{2}}{2SM•EM}$=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}a}{2}•\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即則AC與SM所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$

點(diǎn)評 本題主要考查正三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，根據(jù)棱錐的高，斜高，線面角，二面角以及異面直線所成角的定義分別作出對應(yīng)的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．