Question

10．在三棱錐A-BCD中，AB=AC=1，AD=2，CD=$\sqrt{3}$，∠BAC=$\frac{π}{3}$，cos∠BAD=$\frac{1}{4}$，求二面角A-BC-D的大小．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的勾股定理以及余弦定理證明平面ABC⊥平面BCD即可．

解答 解：∵AB=AC=1，∠BAC=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是正三角形，取BC的中點O，
則AO⊥BC，且AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OC=$\frac{1}{2}$，
∵AB=1，AD=2，cos∠BAD=$\frac{1}{4}$，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=1+4-2×$1×2×\frac{1}{4}$=1+4-1=4，
即BD=2，
∵BC=AC=1，BD=2，CD=$\sqrt{3}$，
∴滿足BC²+CD²=BD²，即CD⊥BC，
∵AC=1，AD=2，CD=$\sqrt{3}$，
∴滿足AC²+CD²=AD²，即CD⊥AC，
∵BC∩AC=C，∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
即二面角A-BC-D的大小為90°．

點評 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)條件結(jié)合勾股定理證明線面垂直以及面面垂直是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運算和推理能力．